Hvad er Mandelbrots mængde?
Matematikkerne vil sige, at det en mængde konstrueret ved den komplekse tal sekvens defineret ved den rekursive lov:
Det er med andre ord, muligt via en simpel algoritme at opdele punkterne i det komplekse plan i to kategorier – punkterne indefor Mandelbrots mængde og punkterne uden for Mandelbrots mængde.
For os andre (ikke matematikkere) er Mandelbrots mængde et matematisk vidunder som man bliver fascineret af og til en vis grad kan forstå, selv om man ikke forstår den bagvedliggende teori.
En af de mest fascinerende ting ved Mandelbrots mængde er den åbenlyse selvmodsigelse. Det siges at være det mest komplekse objekt indenfor matematikken, måske det mest komplekse objekt der nogensinde er set. Men det genereres ud fra en absurd simpel formel. Resultatet er nogle meget flotte billeder, hvor fantastiske mønstre gentager sig i det uendelige. Billederne kaldes fraktaler og er en del af kaosterien. Prøv selv at gå opdagelse i Mandelbrots fraktal via linket ovenfor.
For os andre (ikke matematikkere) er Mandelbrots mængde et matematisk vidunder som man bliver fascineret af og til en vis grad kan forstå, selv om man ikke forstår den bagvedliggende teori.
En af de mest fascinerende ting ved Mandelbrots mængde er den åbenlyse selvmodsigelse. Det siges at være det mest komplekse objekt indenfor matematikken, måske det mest komplekse objekt der nogensinde er set. Men det genereres ud fra en absurd simpel formel. Resultatet er nogle meget flotte billeder, hvor fantastiske mønstre gentager sig i det uendelige. Billederne kaldes fraktaler og er en del af kaosterien. Prøv selv at gå opdagelse i Mandelbrots fraktal via linket ovenfor.
Hvordan konstrueres billederne?
De flotte fraktalbilleder konstrueres på følgende måde. Vælg et punkt i det komplekse plan (lad os kalde det C). Det tilsvarende komplekse tal har formen: x-koordinat + i * y-koordinat. Beregn værdien af udtrykket:
med nul som Z-værdi. Resultatet er selvfølgelig C. Sæt nu Z lig med resultatet og gentag beregningen – nu er resultatet det komplekse tal:
Sæt igen Z lig med den nye værdi og gentag processen igen og igen. I matematiske termer er dette iterationen af formlen:
Iterationerne fortsætter indtil resultatet overstiger værdien 2.0 eller der nås et ønsket antal max iterationer. Hvis værdien 2.0 ikke er nået inden det maximale antal iterationer ligger punktet indenfor Mandelbrots mængde. Disse punkter farves typisk sort, mens punkterne udenfor mængden gives en anden vilkårlig farve. Her er tricket så, at man kan farvelægge punkterne udenfor Mandelbrots mængde efter hvor mange iterationer der skulle til.
For at demonstrere hvor simpelt det er selv at generere de flotte billeder, har jeg inkluderet en del af det Java program som jeg har udarbejdet. Her vises de centrale dele af beregningerne og man kan se hvorledes man udregner værdierne for det komplekse tal Z. Punkterne indefor Mandelbrots mængde farves sorte og punkterne udenfor farves blå for simplificeringens skyld. For opnå de flotte farveeffekter som er vist her på siden skal man blot farvelægge punkterne udenfor Mandelbrots mængde afhængigt af hvor mange iterationer der opnåes for punktet. Prøv f.eks. at eksperimentere med nye farver med iterationsintervaller på 5 eller 10.
For at demonstrere hvor simpelt det er selv at generere de flotte billeder, har jeg inkluderet en del af det Java program som jeg har udarbejdet. Her vises de centrale dele af beregningerne og man kan se hvorledes man udregner værdierne for det komplekse tal Z. Punkterne indefor Mandelbrots mængde farves sorte og punkterne udenfor farves blå for simplificeringens skyld. For opnå de flotte farveeffekter som er vist her på siden skal man blot farvelægge punkterne udenfor Mandelbrots mængde afhængigt af hvor mange iterationer der opnåes for punktet. Prøv f.eks. at eksperimentere med nye farver med iterationsintervaller på 5 eller 10.